پروژه خطاي اندازه گيري در رگرسيون

پروژه خطاي اندازه گيري در رگرسيون

قسمتي از متن:

مقدمه

در اكثر آزمايشاتي كه در سراسر دنيا صورت مي گيرد، مشاهدات علمي مقدار واقعي نبوده بلكه مقادير به دست آمده همراه با يك نوع خطا است. در علوم آماري چنين خطايي به خطاي اندازه گيري[1] معروف است. به خصوص در علومي مانند علوم آموزشي، علوم زيستي خطاي اندازه گيري غيرقابل انكار است. به عنوان مثال در تعيين سطح نمرات يك كلاس يا تعيين ضريب هوشي افراد بسته به موقعيت زماني، نوع سؤالات و وضعيت روحي افراد چنين خطايي وجود دارد. به عنوان مثال ديگر، در اندازه گيري فشار و كلسترول خون افراد، نمي توان به صورت دقيق مقادير واقعي آن ها را اندازه گيري كرد. به عبارتي ديگر در بسياري از آزمايشات در علوم مختلف، اگر اندازه گيري بر روي يك فرد تكرار شود، انتظار نمي رود هميشه به نتايج يكساني دست پيدا كرد. اين نوع خطا ممكن است به دلايل مختلفي از جمله دقت پايين دستگاه اندازه گيري، شرايط نامناسب زمان آزمايش و اشتباه در ثبت اطلاعات رخ دهد. چنين خطايي باعث بروز مشكلاتي در تحليل داده ها شده و مي تواند اعتبار نتايج به دست آمده را زير سوال ببرد و حتي ناديده گرفتن چنين خطايي معمولا باعث نتيجه هاي گمراه كننده اي مي شود (دگرسي و فولر،1972). از نقطه نظر تاريخي هنگامي كه فولر (1987) قصد داشت رابطه رگرسيوني بين ذرت به دست آمده و نيتروژن موجود در خاك را برازش دهد، متوجه اين نوع خطا شد. ايشان بعد از آزمايشات دقيق متوجه شد كه نيتروژن موجود در خاك را نتوانسته به صورت دقيق اندازه گيري كند. سپس نشان داد كه با ناديده گرفتن خطاي اندازه گيري پارامترهاي مدل هاي رگرسيوني اريب برآورد شده و در نتيجه باعث برازش مدل هاي گمراه كننده شده است. به علاوه ايشان مطالعات گسترده اي روي مدل هاي رگرسيوني ساده كه متغيرهاي تبييني يا متغير پاسخ يا هردوي آن ها آميخته به خطاي اندازه گيري است انجام داد و ثابت كرد كه در صورت معلوم بودن نرخ قابليت اعتماد[2]، مي توان پارامترهاي مدل را با دقت زيادي برآورد كرد و مدل دقيق تري را برازش داد. حاصل تلاش هاي وي منجر به نگارش كتاب جامع اي به نام مدل هاي خطاي اندازه گيري[3] شد. البته موضوع خطاي اندازه گيري تنها محدود به مدل هاي رگرسيوني خطي نشده بلكه در مدل هاي مختلف از جمله مدل هاي رگرسيوني غيرخطي (كارول و همكاران،2006) و بد رده بندي[4] (گلداستاين و همكاران، 2008) نيز گسترش يافته است.

به منظور مطالعه دقيق تاثير خطاي اندازه گيري بر نتايج حاصل از مدل هاي رگرسيوني، در اين فصل به مفاهيم اوليه خطاي اندازه گيري پرداخته مي شود.

2.1 خطاي اندازه گيري در رگرسيون خطي ساده

براي ارائه تصوير روشني از موضوع خطاي اندازه گيري و تأثير آن در برازش يك مدل و برآورد پارامترهاي آن، مدل رگرسيوني خطي ساده مورد مطالعه قرار داده مي شود. بدين منظور مدل رگرسيوني خطي ساده

(1.2.1)                          

را در نظر بگيريد، كه در آن خطاهاي مدل هستند كه داراي توزيع نرمال با ميانگين صفر و واريانس ثابت  مي باشند و  متغير پاسخ و  متغير پيشگوي رگرسيوني است واضح است كه  و  و  پارامترهاي مدل هستند. در مدل (1.2.1) ها تركيبي از انواع خطاها از جمله خطاي رگرسيوني  لحاظ نمي شود. به طور دقيق تر ها تركيبي از انواع خطاها از جمله خطاي اندازه گيري، خطاي لحاظ نكردن متغيرهاي تبييني ديگر در مدل و ... است كه ناديده گرفتن هريك از اين خطاها باعث برازش مدل هاي غيرواقعي مي شود. فرض معمول در رگرسيون اين است كه ها مقادير كنترل شده معلوم هستند. اما براي مدل (1.2.1) فرض مي شود مقادير دقيق ها معلوم نيستند. به عبارتي ديگر قبول مي كنيم كه در اين مدل ها مقادير واقعي هستند ليكن به دليل آلودگي با خطاي اندازه گيري آن ها را مشاهده نكرديم. چنين متغيرهايي در آمار به متغيرهاي پنهان[5] معروف اند. آنگاه خطاي اندازه گيري به صورت اختلاف مقادير مشاهده شده و متغير پنهان تعريف مي شود. از اين رو مي توان نوشت:

[1] Measurement error

[2] Reliability rate

[3] Measurement error models

[4] Misclassification

[5] Latent variables